Question

5．已知双曲线的焦点在x轴上，两个顶点A₁，A₂间的距离为2，焦点到渐近线的距离为$\sqrt{2}$．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设双曲线上任意一点的坐标为M（异于两个顶点），直线MA₁和MA₂的斜率分别是k₁，k₂．求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），a=1．根据焦点（$\sqrt{{1+b}^{2}}$，0）到渐近线y=bx的距离为$\sqrt{2}$，求得b的值，可得双曲线的标准方程．
（2）设点M的坐标为（x，y），则有 x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．再根据直线MA₁和MA₂的斜率分别是k₁=$\frac{y}{x+1}$、k₂=$\frac{y}{x-1}$，化简k₁k₂可得结果．

解答 解：（1）根据双曲线的焦点在x轴上，两个顶点A₁，A₂间的距离为2，焦点到渐近线的距离为$\sqrt{2}$，
可得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），a=1，
根据焦点（$\sqrt{{1+b}^{2}}$，0），到渐近线y=bx的距离为$\sqrt{2}$可得$\frac{|b•\sqrt{{1+b}^{2}}-0|}{\sqrt{{1+b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，求得b=$\sqrt{2}$，
∴双曲线的标准方程为 x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由题意可得A₁（-1，0），A₂（1，0），设点M的坐标为（x，y），则有 x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，即 y²=2（x²-1）．
直线MA₁和MA₂的斜率分别是k₁=$\frac{y}{x+1}$，k₂=$\frac{y}{x-1}$，可得k₁k₂=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-1}$=-2．

点评 本题主要考查双曲线的定义、性质、标准方程，直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．