Question

2．已知函数$f（x）=lnx+\frac{1-x}{ax}（a＞0）$．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）要使原函数在[1，∞）上递增，只需其导函数大于或等于零在[1，+∞）上恒成立即可；
（2）结合（1）的结论，研究函数在[1，e]上的单调性，然后求函数的最值．

解答 解：（1）由已知得：f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{a{x}^{2}}$．
要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需$\frac{1}{x}-\frac{1}{a{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
结合a＞0可知，只需a$≥\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞）即可．
易知，此时$（\frac{1}{x}）_{max}$=1，所以只需a≥1即可．
（2）结合（1），令f′（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{a{x}^{2}}$=0得$x=\frac{1}{a}$．
当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）_min=f（1）=0；
当$\frac{1}{e}≤a＜1$时，$1＜\frac{1}{a}≤e$，此时在[1，$\frac{1}{a}$）上f′（x）＜0，在$（\frac{1}{a}，e]$上f′（x）＞0，
所以此时f（x）在$[1，\frac{1}{a}）$上递减，在$[\frac{1}{a}，e]$上递增，所以f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=1-lna-$\frac{1}{a}$；
当$0＜a＜\frac{1}{e}$时，$\frac{1}{a}＞e$，故此时f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，所以f（x）在[1，e]上递减，
所以f（x）_min=f（e）=$1+\frac{1}{ae}-\frac{1}{a}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．