Question

14．翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为$\frac{2}{3}$，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为P₀（0＜P₀＜1），赌中后可得30万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．
（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X（单位：万元），若X≤30的概率为$\frac{7}{9}$，求P₀的大小；
（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？

Answer 1

分析 第（1）问是理解对立事件及其概率的计算，即若“2人的累计获得金额数为X（单位：万元）”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=50”；
第（2）问是考查离散型随机变量的期望值，通过对期望值的计算，比较期望值的大小得到求解问题的决策．

解答 解：（1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为$\frac{2}{3}$，收藏者李先生赌中的概率为P₀，且两人赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为X（单位：万元）”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=50”．
因为$P（X=50）=\frac{2}{3}{P_0}$，所以$P（A）=1-P（X=50）=1-\frac{2}{3}{P_0}=\frac{7}{9}$，求得${P_0}=\frac{1}{3}$．   （4分）
（2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为X₁，都选择规则乙赌中的次数为X₂，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为E（20X₁），选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为E（30X₁）．
由已知可得，${X_1}～B（20，\frac{2}{3}）$，X₂～B（20，P₀），所以$E（{X_1}）=\frac{4}{3}$，E（X₂）=2P₀，
从而$E（20{X_1}）=20E（{X_1}）=20×\frac{4}{3}=\frac{80}{3}$，E（30X₂）=30E（X₂）=60P₀．        （8分）
若E（20X₁）＞E（30X₁），则$\frac{80}{3}＞60{P_0}$，解得$0＜{P_0}＜\frac{4}{9}$；
若E（20X₁）＜E（30X₁），则$\frac{80}{3}＜60{P_0}$，解得$\frac{4}{9}＜{P_0}＜1$；
若E（20X₁）=E（30X₁），则$\frac{80}{3}=60{P_0}$，解得${P_0}=\frac{4}{9}$．                         （11分）
综上所述，当$0＜{P_0}＜\frac{4}{9}$时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当$\frac{4}{9}＜{P_0}＜1$时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当${P_0}=\frac{4}{9}$时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等．                    （12分）

点评 本题以翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”为命题背景，考查数学期望Eξ的计算及在实际中的应用．