Question

1．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|=5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设点P（m，m）（m＞0），根据抛物线的定义和点P在抛物线C上构建关于m，p的方程，解方程组即可求出抛物线的方程；
（2）假设存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，由直线l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线C相切，利用导数求出直线l的方程，进而求出Q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NQ}=0$求出N点坐标．

解答 解：（1）解法1：∵点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点，
∴设点P（m，m）（m＞0），----------------------------------------------------------（1分）
∵抛物线C的准线为$y=-\frac{p}{2}$，由|PF|=5结合抛物线的定义得$m+\frac{p}{2}=5$-------①-----（2分）
又点P在抛物线C上，∴m²=2pm（m＞0）⇒m=2p．----------------------②-----（3分）
由①②联立解得p=2，∴所求抛物线C的方程式为x²=4y．-------------------------（5分）
[解法2：∵点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点，
∴设点P（m，m）（m＞0），----------------------------------------------------------（1分）
∵抛物线C的焦点为$F（0，\frac{p}{2}）$，由|PF|=5得$\sqrt{{m^2}+{{（m-\frac{p}{2}）}^2}}=5$，
即${m^2}+{（m-\frac{p}{2}）^2}=25$，-------------------------------------------①-------------（2分）
又点P在抛物线C上，∴m²=2pm（m＞0）⇒m=2p．--------------②-------------（3分）
由①②联立解得p=2，∴所求抛物线C的方程式为x²=4y．-------------------------（5分）]
（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，
则点N必在y轴上，设N（0，n），--------------------------------------------------（6分）
又设点$M（{x_0}，\frac{x_0^2}{4}）$，由直线l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线C相切，
由$y=\frac{1}{4}{x^2}$得$y'=\frac{1}{2}x$，∴$k=y'{|_{x={x_0}}}=\frac{1}{2}{x_0}$，---------------------------------------（7分）
∴直线l的方程为$y-\frac{x_0^2}{4}=\frac{x_0}{2}（x-{x_0}）$，--------------------------------------------（8分）
令y=-1得$x=\frac{{\frac{x_0^2}{2}-2}}{x_0}$，∴Q点的坐标为$（\frac{x_0}{2}-\frac{2}{x_0}，-1）$，-----------------------------（9分）
∴$\overrightarrow{NM}=（{x_0}，\frac{x_0^2}{4}-n），\overrightarrow{NQ}=（\frac{x_0}{2}-\frac{2}{x_0}，-1-n）$--------------------------------------（10分）
∵点N在以MQ为直径的圆上，
∴$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NQ}=\frac{{x}_{0}^{2}}{2}-2-（1+n）（\frac{{x}_{0}^{2}}{4}-n）=（1-n）\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{n}^{2}+n-2=0\left.\begin{array}{l}{；}\end{array}\right.$--------------（12分）
要使方程（*）对x₀恒成立，必须有$\left\{\begin{array}{l}1-n=0\\{n^2}+n-2=0\end{array}\right.$解得n=1，-------------------------（13分）
∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．--------（14分）
[解法2：设点M（x₀，y₀），由l：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线相切，
由$y=\frac{1}{4}{x^2}$得$y'=\frac{1}{2}x$，∴$k=y'{|_{x={x_0}}}=\frac{1}{2}{x_0}$，-----------------------------------（6分）
∴直线l的方程为$y-{y_0}=\frac{x_0}{2}（x-{x_0}）$，---------------------------------------------（7分）
令y=-1得$x=\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}$，∴Q点的坐标为$（\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}，-1）$，-------------------------（8分）
∴以MQ为直径的圆方程为：$（y-{y_0}）（y+1）+（x-{x_0}）[x-\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}]=0$--------③----（10分）
分别令x₀=2和x₀=-2，由点M在抛物线C上得y₀=1，
将x₀，y₀的值分别代入③得：（y-1）（y+1）+（x-2）x=0-------------------------------④
（y-1）（y+1）+（x+2）x=0--------------------------------------------------------⑤
④⑤联立解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1.\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1.\end{array}\right.$，-----------------------------------------------（12分）
∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，-1），
将（0，1）的坐标代入③式得，
左边=$2（1-{y_0}）+（-{x_0}）[-\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}]$=2（1-y₀）+2（y₀-1）=0=右边，
将（0，-1）的坐标代入③式得，
左边=$（-{x_0}）[-\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}]=2（{y_0}-1）$不恒等于0，------------------------------------（13分）
∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．--（14分）

点评 本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，这类题目考查比较灵活，解决问题时注意几何关系向代数关系（即坐标关系）的转化．