Question

12．已知O为坐标原点，A（0，1），B（-3，4），C在角∠AOB的平分线上，|$\overrightarrow{OC}$|=2，C坐标为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）
• B． （-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）
• C． （$\frac{\sqrt{10}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）
• D． （-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）

Answer 1

分析 根据三角形内角平分线定理，求出OC所在直线分有线向量AB所成的比．然后代入定比分点公式求出OC与AB的交点坐标，再根据向量的模求出答案．

解答 解：∵A（0，1），B（-3，4），|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=5，设OC与AB交于D（x，y）点，
则有AD：BD=1：5，
即D分有向线段AB所成的比为$\frac{1}{5}$，故有x=$\frac{0+\frac{1}{5}×（-3）}{1+\frac{1}{5}}$=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1+\frac{1}{5}×4}{1+\frac{1}{5}}$=$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{OD}$
则$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），|$\overrightarrow{OD}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
由|$\overrightarrow{OC}$|=2，可得$\overrightarrow{OC}$=2•$\frac{\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{OD}|}$=（-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$），
故选：D．

点评 本题考查的知识点是线段的定比分点，有向线段A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+λ{•x}_{2}}{1+λ}}\\{y=\frac{{y}_{1}+λ{•y}_{2}}{1+λ}}\end{array}\right.$进行求解，属于中档题．