Question

2．已知函数f（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinxcosx}$（x∈（0，$\frac{π}{2}$）），则f（x）的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意求导并化简可得f′（x）=$\frac{si{n}^{3}x-co{s}^{3}x}{（sinxcosx）^{2}}$，从而判断函数的单调性及最值，从而解得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{sinx+cosx}{sinxcosx}$，
∴f′（x）=$\frac{（cosx-sinx）sinxcosx-（sinx+cosx）（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）}{（sinxcosx）^{2}}$
=$\frac{si{n}^{3}x-co{s}^{3}x}{（sinxcosx）^{2}}$；
故当x∈（0，$\frac{π}{4}$）时，f′（x）＜0，
当x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）时，f′（x）＞0，
故当x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最小值f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$；
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了导数在求最值时的应用，属于中档题．