Question

3．已知实数a、b满足0＜a＜1，0＜b＜1，求证：$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+{b}^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$≥2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 建立坐标系，正方形的边长为1，则O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），正方形内取点D（a，b），a、b满足0＜a＜1，0＜b＜1，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+{b}^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$表示OD+AD+CD+BD，利用OD+BD≥OB，AD+CD≥AC，即可证明结论．

解答 证明：建立如图所示的坐标系，正方形的边长为1，则O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），正方形内取点D（a，b），a、b满足0＜a＜1，0＜b＜1，
$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+{b}^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$表示OD+AD+CD+BD，利用OD+BD≥OB，AD+CD≥AC，
可得OD+AD+CD+BD≥OB+AC=2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+{b}^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$≥2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查构造法的运用，正确利用几何意义是关键．