Question

8．若$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{12}$）+cos（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{2}{3}$，且-$\frac{π}{2}$＜x＜0，求sinx-cosx．

Answer 1

分析 由已知条件可得sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，由同角三角函数的基本关系可得cos（x+$\frac{π}{4}$）的值，由和差角公式可得sinx-cosx=-$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），代值计算可得．

解答 解：∵$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{12}$）+cos（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{1}{2}$cos（x+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{3}$，
∴sin（x+$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，即sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜x＜0，∴-$\frac{π}{4}$＜x+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$，
∴cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinx-cosx=-$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）
=-$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=-$\frac{4}{3}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．