Question

10．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），S_n为其前n项和．数列{b_n}为等差数列，且满足b₁=a₁，b₄=S₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{2n+2}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：$\frac{1}{3}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由于c_n=$\frac{1}{（2n-1）•lo{g}_{2}{2}^{2n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”可得数列{c_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，再利用数列的单调性即可得出．

解答 （I）解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为1，
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1．
∵设等差数列{b_n}的公差为d，满足b₁=a₁，b₄=S₃，
∴b₁=1，b₁+3d=1+2+2²，解得d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴a_n=2^n-1．b_n=2n-1．
（2）证明：c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{2n+2}}$=$\frac{1}{（2n-1）•lo{g}_{2}{2}^{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
∵数列$\{1-\frac{1}{2n+1}\}$为单调递增数列，
∴${T}_{1}=\frac{1}{3}$≤T_n$＜\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{3}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．