Question

20．规定：坐标轴绕着原点逆时针旋转的角度为正角，顺时针旋转的角度为负角，不改变坐标轴的原点和长度单位，只将两坐标轴旋转同一个角度θ，这种坐标轴的变换叫做坐标轴的θ角旋转，简称转轴θ，将平面直角坐标系O-xy转轴θ得到新坐标系O-x′y′，设点P在两个坐标系中的坐标分别为（x，y）和（x′，y′），则下列结论中错误的是①②③（把你认为错误的所有结论的序号都填上）
①与x轴垂直的直线转轴后一定与x'轴垂直；②当θ=$\frac{π}{4}$时，点P（1，1）在新坐标系中的坐标为P（1，0）；③当θ=-$\frac{π}{4}$时，反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象经过转轴后的标准方程是x′²-y′²=2
④当θ=$\frac{π}{6}$时，直线x=2的图象经过转轴后的直线方程是$\sqrt{3}$x′-y′-4=0
⑤点P在两个坐标系中坐标之间的关系是$\left\{\begin{array}{l}x=x'cosθ-y'sinθ\\ y=x'sinθ+y'cosθ\end{array}$．

Answer 1

分析 对每个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：（1）因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转，而直线并不随着旋转，错误；
（2）点P（1，1）在新坐标系中的坐标应为P（$\sqrt{2}$，0），错误；
（3）$θ=-\frac{π}{4}$时，函数y=$\frac{1}{x}$的图象经过转轴后的标准方程是y'²-x'²=2，错误；
（4）直角坐标系Oxy中的直线x=2，在坐标系O′x′y′中倾斜角为$\frac{π}{3}$，且经过点$（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}，0）$，故转轴后的直线方程是$\sqrt{3}x'-y'-4=0$，正确；
（5）证明如下：设∠PO′x′=φ，|OP|=r，
则x=rcos（φ+θ）=rcosφcosθ-rsinφsinθ=x′cosθ-y′sinθ，
y=rsin（φ+θ）=rsinφcosθ+rcosφsinθ=x′sinθ+y′cosθ，正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．