Question

9．已知数列{a_n}中，点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，且首项a₁是方程3x²-4x+1=0的整数解．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，数列{b_n}的前n项和为T_n，当T_n≤S_n时，请直接写出n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用已知条件求出首项，得到关系式，判断数列是等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出S_n，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，求出公比，然后求解T_n，通过当T_n≤S_n时，写出n的值．

解答 （本小题共13分）
解：（ I）根据a₁是方程3x²-4x+1=0的整数解，解得a₁=1，
点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，可得a_n+1=a_n+2，
即a_n+1-a_n=2=d，…（2分）
所以数列{a_n}是一个等差数列，a_n=a₁+（n-1）d=2n-1…（4分）
（ II）数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}$…（6分）
等比数列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，
所以q=3，${b_n}={3^{n-1}}$…（9分）
数列{b_n}的前n项和${T_n}=\frac{{1-{3^n}}}{1-3}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$…（11分）
T_n≤S_n即$\frac{{{3^n}-1}}{2}≤{n^2}$，又n∈N^*，
所以n=1或2．…（13分）

点评 本题考查数列与函数的综合应用，数列求和，以及数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．