Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（x-$\frac{π}{4}$），2cos（x-$\frac{π}{4}$）），$\overrightarrow{n}$=（sin（x+$\frac{π}{4}$），$\sqrt{3}$cos（x-$\frac{π}{4}$）），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的集合；
（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足a=2$\sqrt{7}$，b+c=6，f（A）=-1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）首先，根据向量的数量积运算，得到f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），然后结合正弦函数的最值求解即可，
（2）根据（1），得到A=$\frac{2π}{3}$，然后，根据余弦定理，得到bc=12，然后，结合三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（x-$\frac{π}{4}$），2cos（x-$\frac{π}{4}$）），$\overrightarrow{n}$=（sin（x+$\frac{π}{4}$），$\sqrt{3}$cos（x-$\frac{π}{4}$）），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\sqrt{3}$
=2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x-$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$
=2（sinxcos$\frac{π}{4}$-cosxsin$\frac{π}{4}$）（sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}[1+cos（2x-\frac{π}{2}）]$-$\sqrt{3}$
=2×$\frac{1}{2}$（sin²x-cos²x）+$\sqrt{3}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴当2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，函数有最大值2，
此时x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，此时取值集合为：{x|x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}，
（2）∵f（A）=-1，
∴2sin（2A-$\frac{π}{6}$）=-1，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，
∴2A=$\frac{4π}{3}$，
∴A=$\frac{2π}{3}$，
∵a=2$\sqrt{7}$，b+c=6，
∴根据余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA
即a²=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{2π}{3}$
∴28=36-bc，
∴bc=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=3$\sqrt{3}$．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式、辅助角公式、三角形的面积公式等知识，属于中档题．