Question

9．若曲线C₁：y=$\frac{a}{2}$x²（a＞0）与曲线C₂：y=e^x存在公共切线，则实数a的取值范围是[$\frac{{e}^{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得m=2（s-1）（s＞1），则有2a=$\frac{{e}^{s}}{s-1}$，令f（s）=$\frac{{e}^{s}}{s-1}$，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围．

解答 解：y=$\frac{a}{2}$x²（a＞0）的导数y′=ax，y=e^x的导数为y′=e^x，
设与曲线C₁相切的切点为（m，n），与曲线C₂相切的切点为（s，t），
则有公共切线斜率为am=e^s=$\frac{t-n}{s-m}$，
又n=$\frac{a}{2}$m²，t=e^s，
即有am=$\frac{am-\frac{a{m}^{2}}{2}}{s-m}$，
即为s-m=1-$\frac{m}{2}$，
即有m=2（s-1）（s＞1），
则有2a=$\frac{{e}^{s}}{s-1}$，
令f（s）=$\frac{{e}^{s}}{s-1}$，则f′（s）=$\frac{{e}^{s}（s-2）}{（s-1）^{2}}$，
当s＞2时，f′（s）＞0，f（s）递增，
当1＜s＜2时，f′（s）＜0，f（s）递减．
即有s=2处f（s）取得极小值，也为最小值，且为e²，
则有2a≥e²，
即a≥$\frac{{e}^{2}}{2}$．
故答案为：[$\frac{{e}^{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．