Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{a_{2}}$+$\frac{1}{a_{3}}$+…+$\frac{1}{a_{n+1}}$＜$\frac{2}{3}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+1构造等比数列数列{a_n+1}，然后求出等比数列的通项公式，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}$＜$\frac{1}{2}$，得a_n＜$\frac{1}{2}{a}_{n+1}$，即有$\frac{1}{{a}_{n+1}}＜\frac{1}{{a}_{2}}$$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，代入$\frac{1}{a_{2}}$+$\frac{1}{a_{3}}$+…+$\frac{1}{a_{n+1}}$利用等比数列求和得答案．

解答 （1）解：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1=1+1=2≠0，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则${a}_{n}+1=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$；
（2）证明：∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}$＜$\frac{1}{2}$，
a_n＜$\frac{1}{2}{a}_{n+1}$，即有$\frac{1}{{a}_{n+1}}＜\frac{1}{2}•\frac{1}{{a}_{n}}$，其中$\frac{1}{{a}_{2}}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}＜\frac{1}{{a}_{2}}$$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
因此，$\frac{1}{a_{2}}$+$\frac{1}{a_{3}}$+…+$\frac{1}{a_{n+1}}$＜$\frac{1}{3}[1+\frac{1}{2}+…+（\frac{1}{2}）^{n-1}]$=$\frac{1}{3}•\frac{1×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了利用构造等比数列法求数列的通项公式，考查了放缩法证明数列不等式，解决（2）的关键是对$\frac{1}{{a}_{n+1}}$的放大，是中档题．