Question

6．设$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是单位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0，则（{\overrightarrow a-\overrightarrow c}）•（{\overrightarrow b-\overrightarrow c}）$的最大值为$1+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$都是单位向量且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，可设$\overrightarrow{a}=（1，0）$，$\overrightarrow{b}=（0，1）$，$\overrightarrow{c}=（cosθ，sinθ）$，从而根据和差角公式可将$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$的表达式转化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的性质得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$的最大值．

解答 解：由于$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$都是单位向量且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
可设$\overrightarrow{a}=（1，0）$，$\overrightarrow{b}=（0，1）$，$\overrightarrow{c}=（cosθ，sinθ）$，
则$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$=（1-cosθ，-sinθ）•（-cosθ，1-sinθ）
=-cosθ+cos²θ-sinθ+sin²θ
=1-（sinθ+cosθ）
=1-$\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+θ）$，
显然$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$的最大值为$1+\sqrt{2}$，
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中求出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$的表达式是解答本题的关键．