Question

17．已知函数f（x）=e^x（ e=2.71828…是自然对数的底数），g（x）=ln（x+1）
（1）若F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的极值；
（2）对任意x≥0，证明：f（x）＞g（x+1）；
（3）对任意x≥0，都有g（x）≥$\frac{ax}{x+1}$成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导函数判断单调性当x∈（-1，0）时，F（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，F（x）单调递增，求出极值当x=0时，F（x）取得的极小值F（0）=1
（2）构造函数G（x）=-x-1，利用导数求解最值得出G（x）≥0，在x≥0恒成立，利用放缩e^x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1），得出（x+1）＞ln（x+2）=g（x+1），即可得证e^x＞ln（x+2），
（3）分类讨论当a≤1时，当a＞1时，转化为求解最值问题来求解，从而判断当a≤1时，对于所有x≥0，都有g（x）≥$\frac{ax}{x+1}$．当a＞1时，不是对所有的x≥0都有$g（x）≥\frac{ax}{x+1}$成立．可得a的范围．

解答 解：（1）设$F（x）={e^x}-ln（x+1）令{F^'}（x）={e^x}-\frac{1}{x+1}=0⇒x=0$
当x∈（-1，0），F′（x）＜0，当x∈（0，+∞），F′（x）＞0
所以当x∈（-1，0）时，F（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，F（x）单调递增
从而当x=0时，F（x）取得的极小值F（0）=1                  
（2）证明：令G（x）=e^x-x-1，G′（x）=e^x-1，
当x∈（0，+∞），G′（x）＞0
所以当x∈（0，+∞）时G（x）单调递增；G（x）＞G（0）=0（x＞0）；
所以e^x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1），
所以x+1）＞ln（x+2）=g（x+1）
f（x）=e^x＞x+1＞g（x+1）
所以f（x）＞g（x+1）
（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
h′（x）=ln（x+1）+1-a，
令h′（x）=0解得x=e^a-1-1
（i）当a≤1时，x=e^a-1-1≤0，
所以对所有x＞0，h′（x）＞0；h（x）在[0，+∞）上是增函数．
所以有h（x）＞h（0）=0（x＞0）
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有g（x）≥$\frac{ax}{x+1}$．
（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e^a-1-1，h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，e^a-1-1）上是减函数，从而对于0＜x＜e^a-1-1有h（x）＜h（0）=0，
即f（x）＜ac，所以当a＞1时，不是对所有的x≥0都有$g（x）≥\frac{ax}{x+1}$成立．
综上，a的取值范围是（-∞，1）．

点评 本题综合考察了函数的性质，导数在求解函数极值，证明不等式，求解字母的范围问题，难度较大，属于难题．