Question

6．“a＜1”是“x+$\frac{1}{x+1}$≥a对x∈（-1，+∞）恒成立”的（　　）

• A． 充分且不必要条件
• B． 必要且不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分又不必要条件

Answer 1

分析 结合基本不等式的性质先求出“x+$\frac{1}{x+1}$≥a对x∈（-1，+∞）恒成立”的充要条件，从而判定出答案．

解答 解：∵x＞-1，∴x+1＞0，
∴x+$\frac{1}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-1≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}$-1=1，
若x+$\frac{1}{x+1}$≥a对x∈（-1，+∞）恒成立，则a≤1，
∴a＜1是a≤1的充分不必要条件，
故选：A．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了充分必要条件，函数恒成立问题，本题属于基础题．