Question

10．若不等式$\sqrt{16-{x}^{2}}$≥-a²x的解区间长度为6，则实数a的值为±$\root{4}{3}$，及此不等式的解集为[-2，4]．

Answer 1

分析 由16-x²≥0，解得-4≤x≤4，讨论当x=0时，当0＜x≤4，当-4≤x＜0时，两边平方，求得x的范围，最后求并集，再由区间长度，解方程可得a，进而得到不等式的解集．

解答 解：不等式$\sqrt{16-{x}^{2}}$≥-a²x的解区间长度为6，
即有解集为闭区间，
由16-x²≥0，解得-4≤x≤4，
当x=0时，不等式即为4≥0成立；
当0＜x≤4，不等式右边≤0，成立；
当-4≤x＜0时，不等式$\sqrt{16-{x}^{2}}$≥-a²x，两边平方即为
16-x²≥a⁴x²，即有x²≤$\frac{16}{1+{a}^{4}}$，
解得-$\frac{4}{\sqrt{1+{a}^{4}}}$≤x≤$\frac{4}{\sqrt{1+{a}^{4}}}$，
即有-$\frac{4}{\sqrt{1+{a}^{4}}}$≤x＜0．
故不等式的解集为[-$\frac{4}{\sqrt{1+{a}^{4}}}$，4]，
由题意可得4+$\frac{4}{\sqrt{1+{a}^{4}}}$=6，
解得a=±$\root{4}{3}$，
即有解集为[-2，4]．
故答案为：±$\root{4}{3}$，[-2，4]．

点评 本题考查不等式的解法，主要考查无理不等式的解法，注意定义域的运用，运用平方法和分类讨论法是解题的关键．