Question

15．已知tanα=$\frac{1}{7}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，α，β均为锐角，求sinα及α+2β的值．

Answer 1

分析 根据同角的三角函数关系求出sinα，cosα，然后利用两角和差的余弦公式进行求解即可．

解答 解：∵α，β均为锐角，
∴sin²α=$\frac{si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}=\frac{ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{\frac{1}{49}}{1+\frac{1}{49}}=\frac{1}{50}$，
则sinα=$\sqrt{\frac{1}{50}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
则cosα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∵sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
则sin2β=2sinβcosβ=2×$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3}{5}$，cos2β=2cos²β-1=$\frac{4}{5}$，
则cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵sin2β∈（0，1），cos2β∈（0，1），
∴2β∈（0，$\frac{π}{2}$），
则α+2β∈（0，π），
则α+2β=$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及同角的三角函数关系式是解决本题的关键．