Question

5．已知椭圆x²+3y²=9的左焦点为F₁，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，若点D是线段PF₁的中点，则△F₁OD的周长为3+$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由椭圆的方程求出a、b、c，画出图形，利用椭圆的性质以及椭圆的定义，求解即可．

解答 解：椭圆x²+3y²=9，可得a=3，b=$\sqrt{3}$，∴c=$\sqrt{6}$．由题意可知如图：
连结PF₂，点D是线段PF₁的中点，可得OD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$PF₂，
有椭圆的定义可知|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|DF₁|+|DO|=a=3．
△F₁OD的周长为：a+c=3+$\sqrt{6}$．
故答案为：3+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的解答性质的应用，椭圆的定义的应用，考查计算能力．