Question

13．已知焦距为4的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₂为椭圆C的右焦点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，M，N分别是AF₂，BF₂的中点，以线段MN为直径的圆经过原点O（0，0）．
（1）证明：点A在定圆上；
（2）若直线AB的倾斜角为30°，求椭圆C的离心率．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出B（-x₀，-y₀），M（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），N（$\frac{2-{x}_{0}}{2}$，-$\frac{{y}_{0}}{2}$）．
根据圆的几何性质得出即${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=4，即可判断点的位置．
（2）根据直线与椭圆的位置性质得出$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，又a²-b²=4，解方程组即可求解离心率．

解答 解：（1）因为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，
所以右焦点F₂（2，0）．
设A（x₀，y₀），
则B（-x₀，-y₀），M（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），N（$\frac{2-{x}_{0}}{2}$，-$\frac{{y}_{0}}{2}$）．
因为线段MN为直径的圆经过原点O（0，0），
所以$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，所以$\frac{4-{x}_{0}^{2}}{4}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$=0，即${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=4，
故点A在以原点O（0，0）为圆心，半径为2的圆上．
（2）因为直线AB的倾斜角为30⁰，
所以直线AB的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
因为A（x₀，y₀），所以有y₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₀，
又由（1）知${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=4，解得${x}_{0}^{2}$=3，${y}_{0}^{2}$=1．
又点A（x₀，y₀）在椭圆C上，则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
又a²-b²=4，解得a²=6，a=$\sqrt{6}$，
故椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了直线与椭圆的方程，几何性质，与向量的知识的融合，运算量大，化简仔细认真，属于难题．