Question

2．已知△OFQ的面积为S，且$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{FQ}$=1．
（1）若$\frac{1}{2}$＜S＜2，向量$\overrightarrow{OF}$与$\overrightarrow{FQ}$的夹角为θ，求tanθ取值范围；
（2）设|$\overrightarrow{OF}$|=c（c≥2），S=$\frac{3}{4}$c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|$\overrightarrow{OQ}$|取最小值时，建立坐标系求此时椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意知$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OF}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{FQ}}\end{array}|=\frac{1}{cosθ}$，$S=\frac{1}{2}tanθ$，从而1＜tanθ＜4；
（2）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并设Q（m，n），则F（c，0），由题意知$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FQ}=c（m-c）=1$，则$m=c+\frac{1}{c}$．由此知${|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OQ}}\end{array}|}^{2}=（c+\frac{1}{c}）^{2}+\frac{9}{4}$，由此入手，当$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OQ}}\end{array}|$取最小值时，能够求出椭圆的方程．

解答 解：（1）由题意知，$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FQ}=|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OF}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{FQ}}\end{array}|cosθ=1$
所以$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OF}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{FQ}}\end{array}|=\frac{1}{cosθ}$，
因为$S=\frac{1}{2}|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OF}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{FQ}}\end{array}|sin（π-θ）$=$\frac{1}{2}|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OF}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{FQ}}\end{array}|sinθ$，
所以$S=\frac{1}{2}tanθ$，
又$\frac{1}{2}$＜S＜2，
所以1＜tanθ＜4；
（2）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，
并设Q（m，n），则F（c，0），
且$\left\{\begin{array}{l}{S=\frac{1}{2}cn}\\{S=\frac{3}{4}c}\end{array}\right.$，故$n=\frac{3}{2}$．
因为$\overrightarrow{OF}=（c，0）$，$\overrightarrow{FQ}=（m-c，n）$，
所以$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FQ}=c（m-c）=1$，
则$m=c+\frac{1}{c}$，故$Q（c+\frac{1}{c}，\frac{3}{2}）$．
从而${|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OQ}}\end{array}|}^{2}=（c+\frac{1}{c}）^{2}+\frac{9}{4}$．
又c≥2，
故当c=2时，$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OQ}}\end{array}|$最小，此时$Q（\frac{5}{2}，\frac{3}{2}）$．
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\\;\\;（a＞b＞0）$，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}=4={a}^{2}-{b}^{2}}\\{\frac{（\frac{5}{2}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$ 
解得a²=10，b²=6，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法．