Question

已知一个几何体的三视图如图所示．
（1）求此几何体的表面积；
（2）如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．

Answer 1

分析：（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，底面圆半径长a，圆柱高为2a，圆锥高为a．
（2）将圆柱侧面展开，在平面矩形内线段PQ长为所求．

解答：解：（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．底面圆半径长a，圆柱高为2a，圆锥高为a．-------（2分）
S圆锥侧=

1

2

(2πa)•(

2

a)=

2

πa2，-------（3分）
S圆柱侧=(2πa)•(2a)=4πa2，------（4分）
S圆柱底=πa2，-------（5分）
所以S表面=

2

πa2+4πa2+πa2=(

2

+5)πa2．------（7分）
（2）沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如上图．-------（9分）
则，PQ=

AP2+AQ2

=

a2+(πa)2

=a

1+π2

------（12分）
所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a

1+π2

．------（14分）

点评：本题考查由三视图求面积，解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征及其度量，再由公式求出表面积，还考查曲面距离最值问题，采用化曲面为平面的办法．须具有空间想象能力、转化、计算能力．