Question

如图，已知三棱锥P-ABC的侧面PAB是等边三角形，D是AB的中点，PC=BC=AC=2，PB=2

2

．
（1）证明：AB⊥平面PCD；
（2）求点C到平面PAB的距离．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形△ABC，BC=AC，△PAB是等边三角形，D是AB的中点，可得CD⊥AB，PD⊥AB．利用线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PCD；
（2））由已知BC=AC=2，AB=PB=2

2

，可得AC²+BC²=AB²，利用勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，可得S_△ACB=

1

2

AC•BC，再利用已知PC=BC=AC=2，PB=2

2

，可得PC²+BC²=PB²，利用勾股定理的逆定理可得∠PCB=90°，同理可证PC⊥CA．利用线面垂直的判定定理可得PC⊥平面BAC．即PC是三棱锥P-ABC的高，于是Vp-ABC=

1

3

S△ABC•PC=

1

3

×2×2=

4

3

．另一方面，由已知△PAB是边长为2

2

等边三角形，可得S△ABP=

1

2

PA•PBsin60°，设点C到平面PAB的距离为h，则VC-PAB=

1

3

S△PAB•h=

2 3

3

h，利用等积变形可得V_C-PAB=V_P-ABC，解出即可．

解答：证明：（1）∵BC=AC，△PAB是等边三角形，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，PD⊥AB，
又PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD．
（2）∵BC=AC=2，AB=PB=2

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴∠ACB=90°，
故△ACB是直角三角形，
∴S△ACB=

1

2

AC•BC=

1

2

×2×2=2，
∵PC=BC=AC=2，PB=2

2

．
∴PC²+BC²=PB²，∴∠PCB=90°，∴PC⊥BC．
∵△PAB是等边三角形，∴PA=2

2

．
同理可证PC⊥CA．
又AC∩CB=C，
∴PC⊥平面BAC．
∴PC是三棱锥P-ABC的高，
∴Vp-ABC=

1

3

S△ABC•PC=

1

3

×2×2=

4

3

                      
又∵△PAB是边长为2

2

等边三角形，
∴S△ABP=

1

2

PA•PBsin60°=

1

2

×(2

2

)2×

3

2

=2

3

，
设点C到平面PAB的距离为h，则VC-PAB=

1

3

S△PAB•h=

2 3

3

h，
∵V_C-PAB=V_P-ABC，即

2 3

3

h=

4

3

，解得h=

2 3

3

．
∴点C到平面PAB的距离为

2 3

3

．

点评：本题综合考查了线面垂直的判定定理和性质定理、勾股定理的逆定理证明垂直、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三棱锥的体积计算公式等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．