Question

12、已知函数y=log₂（x²-4x+a），设方程x²-4x+a=0的判别式为△，
（1）、若a=3，则△

＞

0；函数的定义域是

（-∞，1）∪（3，+∞）

；值域是

R

．
（2）、若a=4，则△

=

0；函数的定义域是

（-∞，2）∪（2，+∞）

；值域是

R

．
（3）、若a=5，则△

＜

0；函数的定义域是

R

；值域是

[0，+∞）

．
（4）、若函数定义域为R，则实数a∈

（4，+∞）

；若函数值域为R，则实数a∈

（-∞，4）

．

Answer 1

分析：（1）若a=3，则△＞0；x²-4x+3＞0解得定义域，值域由对数函数的性质可知．
（2）若a=4，则△=0；x²-4x+4＞0解得定义域，值域由对数函数的性质可知．
（3）若a=5，则△＜0；x²-4x+5＞0一定成立，则函数的定义域是 R；值域由对数函数的性质可知．
（4）若函数定义域为R，则实数x²-4x+a＞0一定成立，由判别式法求解；若函数值域为R，则x²-4x+a充满（0，+∞）所有的数求解．

解答：解：（1）若a=3，则△＞0；
∵x²-4x+3＞0
∴x＞3，x＜1
∴函数的定义域是 （-∞，1）∪（3，+∞）；值域是 R．
（2）若a=4，则△=0；
∵x²-4x+4＞0
∴x≠2
∴函数的定义域是 （-∞，2）∪（2，+∞）；值域是 R．
（3）若a=5，则△＜0；∴x²-4x+5＞0对x∈R恒成立
∴函数的定义域是 R；值域是[0，+∞）．
（4）、若函数定义域为R，x²-4x+a＞0对x∈R恒成立
则△=16-4a＜0
∴a＞4
∴实数a∈（4，+∞）；
若函数值域为R，则x²-4x+a充满（0，+∞）所有的数
则△=16-4a≥0
∴a≤4
∴实数a∈（-∞，4]．
故答案为：（1）＞，（-∞，1）∪（3，+∞），R
（2）=，（-∞，2）∪（2，+∞），R
（3）＜，R，[0，+∞）．
（4）（4，+∞）；∈（-∞，4]．

点评：本题主要考查了对数函数的真数要大于零，体现了函数，方程，不等式的转化与应用．