Question

【题目】已知.

（1）将的单调区间和极值；

（2）若有两个零点，求的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；有极小值，无极大值；（2），证明见解析.

【解析】

（1）求得函数的导数，求得函数的单调性，根据函数极值的概念，即可求解；

（2）由（1）和题设条件得到极小值，令，化简得到函数，进而求得，再由题目条件化简得，

利用分析法，即可证得结论.

（1）由题意，函数，则，

令，即，可得，解得，

令，即，可得，解得，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，

极小值为，无极大值.

（2）由（1）可知，若函数有两零点，则极小值，

所以，可得，即，且极值点，

又由，

令，则，，

，

令，，

在上单调递增，所以

所以，所以，

从而可得在上有一个零点，

所以当时，在区间各有唯一零点

由题目条件可得，两边同时取对数可得，，

两式相减可得，即，

要证，

只需证，即证，即证，

即证 即证 ，

令 ，则，只需要证，

令，则，可得，

当时，所以在上单调递增，

所以当时，所以 在 上单调递增，

当时，即在上恒成立.

原命题得证.