Question

3．设△A_nB_nC_n的三边长分别是a_n，b_n，c_n，△A_nB_nC_n的面积为S_n，n∈N^*，若b₁＞c₁，b₁+c₁=2a₁，a_n+1=a_n，b_n+1=$\frac{{{a_n}+{c_n}}}{2}，{c_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{b_n}}}{2}$，则（　　）

• A． {S_n}为递减数列
• B． {S_n}为递增数列
• C． {S_2n-1}为递增数列，{S_2n}为递减数列
• D． {S_2n-1}为递减数列，{S_2n}为递增数列

Answer 1

分析 由a_n+1=a_n可知△A_nB_nC_n的边B_nC_n为定值a₁，由b_n+1+c_n+1-2a₁=$\frac{1}{2}$（b_n+c_n-2a_n），b₁+c₁=2a₁得b_n+c_n=2a₁，则在△A_nB_nC_n中边长B_nC_n=a₁为定值，另两边A_nC_n、A_nB_n的长度之和b_n+c_n=2a₁为定值，由此可知顶点A_n在以B_n、C_n为焦点的椭圆上，根据b_n+1-c_n+1=$\frac{1}{2}$（c_n-b_n），得b_n-c_n=$（-\frac{1}{2}）^{n-1}（{b}_{1}-{c}_{1}）$，可知n→+∞时b_n→c_n，据此可判断△A_nB_nC_n的边B_nC_n的高h_n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．

解答 解：b₁=2a₁-c₁且b₁＞c₁，∴2a₁-c₁＞c₁，∴a₁＞c₁，
∴b₁-a₁=2a₁-c₁-a₁=a₁-c₁＞0，∴b₁＞a₁＞c₁，
又b₁-c₁＜a₁，∴2a₁-c₁-c₁＜a₁，∴2c₁＞a₁，∴c₁$＞\frac{{a}_{1}}{2}$，
由题意，b_n+1+c_n+1=$\frac{{b}_{n}+{c}_{n}}{2}$+a_n，∴b_n+1+c_n+1-2a_n=$\frac{1}{2}$（b_n+c_n-2a_n），
∴b_n+c_n-2a_n=0，∴b_n+c_n=2a_n=2a₁，∴b_n+c_n=2a₁，
又由题意，b_n+1-c_n+1=$\frac{{c}_{n}-{b}_{n}}{2}$，
∴b_n+1-（2a₁-b_n+1）=$\frac{2{a}_{1}-{b}_{n}-{b}_{n}}{2}$=a₁-b_n，b_n+1-a₁=$\frac{1}{2}$（a₁-b_n）=$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$（b₁-a₁）．
∴b_n=a₁+（b₁-a₁）$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，c_n=2a₁-b_n=a₁-（b₁-a₁）$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
${S}_{n}^{2}$=$\frac{3{a}_{1}}{2}$$（\frac{3{a}_{1}}{2}-{a}_{1}）$$[\frac{3{a}_{1}}{2}-{a}_{1}-（{b}_{1}-{a}_{1}）（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$•$[\frac{3{a}_{1}}{2}-{a}_{1}+（{b}_{1}-{a}_{1}）（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$=$\frac{3}{4}{a}_{1}^{2}$$[\frac{{a}_{1}^{2}}{2}-（\frac{1}{4}）^{n-1}（{b}_{1}-{a}_{1}）^{2}]$单调递增．
可得{S_n}单调递增．
故选：B．

点评 本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．