Question

2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且点（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l交椭圆C于A，B两点，求△AOB的面积最大时l的方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设过点P（0，2）的直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程，可得（1+3m²）y²+12my+9=0，运用韦达定理和弦长公式，再由点到直线的距离公式，求得三角形AOB的面积，结合基本不等式即可得到最大值，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又a²-b²=c²，
点（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$）在椭圆C上，可得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，
解方程可得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）设过点P（0，2）的直线l的方程为x=my+2，
代入椭圆方程，可得（1+3m²）y²+12my+9=0，
判别式为144m²-36（1+3m²）＞0，即有m＞1或m＜-1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{12m}{1+3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{9}{1+3{m}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{12m}{1+3{m}^{2}}）^{2}-\frac{36}{1+3{m}^{2}}}$=6$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{（1+3{m}^{2}）^{2}}}$，
由O到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
则△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=6$\sqrt{\frac{{m}^{2}-1}{（1+3{m}^{2}）^{2}}}$，
令t=m²-1，（t＞0），即有S=6$\sqrt{\frac{t}{（3t+4）^{2}}}$=6$\sqrt{\frac{1}{9t+\frac{16}{t}+24}}$，
由9t+$\frac{16}{t}$≥2$\sqrt{9t•\frac{16}{t}}$=24，当且仅当t=$\frac{4}{3}$，即m=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$，取得等号，
即有△AOB的面积最大时l的方程为x=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$y+2．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．