Question

已知a，b是不相等的两个正数，在a，b之间插入两组数：x₁，x₂，…，x_n和y₁，y₂，…，y_n，（ n∈N^*，且n≥2），使得a，x₁，x₂，…，x_n，b成等差数列，a，y₁，y₂，…，y_n，b成等比数列．老师给出下列五个式子：①

n

k=1

xk=

n(a+b)

2

；②

1

n

n

k=1

xk＞

ab

+(

a - b

2

)2；③

n	y1y2…yn

＜

ab

；④

n	y1y2…yn

=

ab

；⑤

n	y1y2…yn

＞

ab

．其中一定成立的是

 

．

Answer 1

分析：先根据等差数列的性质和均值不等式可判断①②正确，再由等比数列的性质可判断③④不正确，⑤正确．

解答：解：依题意可知，a，x₁，x₂，…，x_n，b成等差数列，则x₁+x₂+…+x_n=

(x1+xn)•n

2

∵x₁+x_n=a+b
∴

n

k=1

xk=

n(a+b)

2

成立，故①正确；
∴

1

n

n

k=1

xk=

a+b

2

＞

ab

+(

a - b

2

)2
∴②成立；
a，y₁，y₂，…，y_n，b成等比数列，则y₁•y_n=y₂•y_n-1=…=ab，

n	y1y2…yn

=

ab

，则④正确；
故③⑤不正确；
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质和均值不等式的知识．考查综合运用能力．