精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知a、b是不相等的两个正数,在a、b之间插入两组数x1,x2,…xn和y1,y2,…yn(n∈N,且n≥2),使得a,x1,x2,…xn,b成等差数列,a,y1,y2,…yn,b成等比数列,则下列四个式子中,一定成立的是
①②
①②
.(填上你认为正确的所有式子的序号)
n
k=i
xi=
n(a+b)
2
;②
1
n
n
k=i
xi
=
a+b
2
ab
+(
a
-
b
2
)
2
;③
ny1y2yn
=
ab
;④
ny1y2yn
2ab
a+b
分析:先根据等差数列的性质和均值不等式可判断①②正确,再由等比数列的性质可判断③④不正确.
解答:解:依题意可知,a,x1,x2,…,xn,b成等差数列,则x1+x2+…+xn=
(x1+xn)•n
2

∵x1+xn=a+b
n
k=1
xk=
n(a+b)
2
成立,故①正确;
1
n
n
k=1
xk
=
a+b
2
ab
+(
a
-
b
2
)
2

∴②成立
当a=y1=y2=…=yn=b时,
ny1y2yn
=
ab
,当a,y1,y2,…,yn,b不相等时,
ny1y2yn
ab

故③④不正确;
故答案为:①②
点评:本题以数列为载体,考查数列与不等式的综合,主要考查等差数列的性质、等比数列的性质和均值不等式的知识.考查综合运用能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a,b是不相等的两个正数,在a,b之间插入两组数:x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,( n∈N*,且n≥2),使得a,x1,x2,…,xn,b成等差数列,a,y1,y2,…,yn,b成等比数列.老师给出下列五个式子:①
n
k=1
xk=
n(a+b)
2
;②
1
n
n
k=1
xk
ab
+(
a
-
b
2
)2
;③
ny1y2yn
ab
;④
ny1y2yn
=
ab
;⑤
ny1y2yn
ab
.其中一定成立的是
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

按要求证明下列各题.
(1)已知a1+a2+a3+a4>100,用反证法证明a1,a2,a3,a4中,至少有一个数大于25;
(2)已知a,b是不相等的正数.用分析法证明a3+b3>a2b+ab2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a,b是不相等的正数,x=
a
+
b
2
,y=
a+b
,则x,y的大小关系是
x<y
x<y

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)>9a2b2

查看答案和解析>>

同步练习册答案