Question

设是函数的一个极值点.

(1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

(2）设，在区间[0，4]上是增函数.若存在使得成立，求的取值范围.

 

Answer 1

(1）b＝－3－2a , 当a<－4时f (x) 的减区间有（－∞，3）和（―a―1，＋∞）,增区间为（3，―a―1）; 当a>－4时f (x) 的减区间有（－∞，―a―1）和（3，＋∞）,增区间为（―a―1，3）;

(2）（0，）.

【解析】

试题分析：(1）由是函数的一个极值点,可得 ,从而就可用用表示出 来；这样就可以用a的代数式将表达出来，令其等于零解得两个实根，注意由已知这两个实根应该不等而得到：a≠－4 ，然后通过讨论两根的大小及 的符号就可确定函数的单调区间；(2）由（1）可求得当当a>0时，在区间[0，4]上的最大值和最小值，由已知也可求得在区间[0，4]上的最大值的最小值；而存在使得成立等价于，解此不等式就可求得的取值范围.

试题解析：(1）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,

由，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，

则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.

令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以，那么a≠－4.

当a<－4时，x2>3＝x1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.

当a>－4时，x2<3＝x1，则

在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（―a―1，3）上，f (x)>0，f (x)为增函数；

在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.

(2）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，

而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，

由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只需且仅须

(a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范围是（0，）.

考点：1.函数的单调性与极值;2.函数的最值与不等式的存在成立.