Question

已知数列{a_n}满足 a₁=2，a₂=8，a_n+2=4a_n+1-4a_n．
（1）证明{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（2）证明{

an

2n

}是等差数列；
（3）设S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，求S的值．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2=4a_n+1-4a_n可得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即

an+2-2an+1

an+1-2an

=2可证．
（2）由（1）利用等比数列的通项可知，a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，则

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，结合等差数列的定义可知{

an

2n

}是等差数列
（3）由

an

2n

=n，可得a_n=n•2ⁿ，考虑利用错位相减求和．

解答：解：（1）∵a_n+2=4a_n+1-4a_n∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
即

an+2-2an+1

an+1-2an

=2，又 a₂-2a₁=4
∴数列{a_n+1-2a_n}是以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，a_n+1-2a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，又 

a1

2

=1，
∴数列{

an

2n

}是首项为1，公差为1的等差数列，即正整数列．
（3）∵

an

2n

=n，∴a_n=n•2ⁿ，又 S=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₀，
∴S=2+2•2²+3•2³+…+2010•2²⁰¹⁰①2S=2²+2•2³+3•2⁴+…+2010•2²⁰¹¹②
①-②得-S=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁰-2010•2²⁰¹¹=2²⁰¹¹-2-2010•2²⁰¹¹
∴S=2009•2¹⁰¹¹+2．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造特殊数列（等差数列、等比数列），及等差数列等比数列的通项公式的求解，错位相减求解数列的和的方法的应用．