已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=且g(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
(1) 当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(2) a≥-1.
【解析】(1)f′(x)=-a=(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,若f′(x)>0,则0<x< ,若f′(x)<0,则x> ,
故此时f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)令h(x)=ax-1(-1≤x≤0),
当a=0时,h(x)=-1,g(x)max=f(1)=0≤1,符合题意.
当a<0时,h(x)max=h(-1)=-a-1,f(x)max=f(1)=-a,
∴g(x)max=-a≤1,结合a<0,可得-1≤a<0.
当a>0时,h(x)max=h(0)=-1.
若≥1,即0<a≤1,f(x)max=f(1)=-a≥-1,
∴g(x)max=-a≤1,结合0<a≤1,可得0<a≤1.
若<1,即a>1,f(x)max=f =ln-1<-1,
∴g(x)max=-1≤1,符合题意.
综上所述,当g(x)≤1恒成立时,a≥-1.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集3B讲练习卷(解析版) 题型:选择题
已知x>0,y>0,若不等式恒成立,则实数m的最大值为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集1B讲练习卷(解析版) 题型:选择题
“a>1”是“a2>1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集1A讲练习卷(解析版) 题型:选择题
设M={x|y=ln(x-1)},N={y|y=x2+1},则有( )
A.M=N B.M∩N=M
C.M∪N=M D.M∪N=R
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集19讲练习卷(解析版) 题型:选择题
已知向量α,β,γ满足|α|=1,|α-β|=|β|,(α-γ)·(β-γ)=0.若对每一个确定的β,|γ|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意β,m-n的最小值是( )
A. B.1 C.2 D.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集19讲练习卷(解析版) 题型:选择题
已知函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))=( )
A.-20 B.-18 C.-15 D.17
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集17讲练习卷(解析版) 题型:解答题
一家商场为了确定营销策略,进行了投入促销费用x和商场实际销售额y的试验,得到如下四组数据.
投入促销费用x(万元) | 2 | 3 | 5 | 6 |
商场实际营销额y(万元) | 100 | 200 | 300 | 400 |
(1)在下面的直角坐标系中,画出上述数据的散点图,并据此判断两个变量是否具有较好的线性相关性;
(2)求出x,y之间的回归直线方程=x+;
(3)若该商场计划营销额不低于600万元,则至少要投入多少万元的促销费用?
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集15讲练习卷(解析版) 题型:选择题
以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是( )
A.(0,2) B.(2,0)
C.(4,0) D.(0,4)
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