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已知函数f(x)ln xax(a∈R)

(1)讨论函数f(x)的单调区间;

(2)若函数g(x)g(x)≤1恒成立求实数a的取值范围.

 

(1) a≤0f(x)(0,+∞)上单调递增;当a>0f(x)的单调递增区间为单调递减区间为(2) a1.

【解析】(1)f′(x)a(x>0)

a≤0f(x)>0f(x)(0,+∞)上单调递增;

a>0f′(x)>00<x< f′(x)<0x>

故此时f(x)的单调递增区间为单调递减区间为.

(2)h(x)ax1(1≤x≤0)

a0h(x)=-1g(x)maxf(1)0≤1符合题意.

a<0h(x)maxh(1)=-a1f(x)maxf(1)=-a

g(x)max=-a≤1结合a<0可得-1≤a<0.

a>0h(x)maxh(0)=-1.

10<a≤1f(x)maxf(1)=-a≥1

g(x)max=-a≤1结合0<a≤1可得0<a≤1.

<1a>1f(x)maxf ln1<1

g(x)max=-1≤1符合题意.

综上所述g(x)≤1恒成立时a1.

 

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