Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），x∈R
（1）求f（x）的表达式，并给出一个f（x）取得最大值时的x的值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的方程f（x）-m=0（x∈[-

π

4

，

π

3

]有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），函数f（x）=

a

•

b

，根据平面向量的数量积公式，结合降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，我们可以求出函数 f（x）的最大值及取得最大值时的x的值；
（2）由（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的单调性，我们易求出函数f（x）的单调递增区间；
（3）由（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的单调性，得到函数的最值，进而得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=（2cosx，1）（cosx，

3

sin2x）
=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1．        
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f_max=3，此时x+

π

6

=

π

2

+2kπ
故一个f（x）取得最大值时的x的值为x=

π

3

；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）
∴-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ
函数递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，（k∈Z）；
（3）∵x∈[-

π

4

，

π

3

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]
故-

3

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
此时2sin（2x+

π

6

）+1∈[1-

3

，3]
故m∈[1-

3

，3]时方程有解．

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换法则，其中根据平面向量的数量积公式和辅助角公式，求出函数的解析式是解答本题的关键．