【题目】已知椭圆
的右焦点为F，过点
的直线l与E交于A，B两点.当l过点F时，直线l的斜率为
，当l的斜率不存在时，
.
（1）求椭圆E的方程.
（2）以AB为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
.（2）以AB为直径的圆恒过定点
.
【解析】
（1）根据直线的斜率公式求得
的值，由
，即可求得
的值，求得椭圆方程；
（2）当直线的斜率存在，设直线
的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以直径的圆的方程，令
，即可求得
，即可判断以为直径的圆过定点
．
（1）设椭圆半焦距为c，由题意
，所以
.
l的斜率不存在时，
，所以
，
.
所以椭圆E的方程为.
（2）以AB为直径的圆过定点
.
理由如下：
当直线
的斜率存在时，设的方程
，
，
，
，
，
联立方程组
，消去
，
整理得
，
所以
，
，
所以
，
，
以为直径的圆的方程：
，
即
，
令，则
，
解得或
，
所以为直径的圆过定点．
当直线l的斜率不存在时，
，
，
此时以AB为直径的圆的方程为
.
显然过点．
综上可知，以为直径的圆过定点．
黄冈小状元解决问题天天练系列答案
三点一测快乐周计划系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，统计结果如下表所示，已知这100位顾客中一次购物量超过7件的顾客占
.
一次购物量 | 1至3件 | 4至7件 | 8至11件 | 12至15件 | 16件及以上 |
顾客数（人） |
| 27 | 20 |
| 10 |
结算时间（ | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
（1）确定
，
的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）从收集的结算时间不超过
的顾客中，按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的结算时间为
的概率.（注：将频率视为概率）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系
中，曲线
（
为参数），以坐标原点
为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线
的极坐标方程；
（2）已知点
，直线
的极坐标方程为
，它与曲线的交点为，
，与曲线的交点为
，求
的面积.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，椭圆
的上顶点为A，左、右焦点分别为
，
，直线
的斜率为
，点
在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为
.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)作直线l与x轴垂直，交椭圆于
两点（两点均不与P点重合)，直线
，
与x轴分别交于点
.求
的最小值及取得最小值时点P的坐标.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知抛物线
经过点
，过
作倾斜角互补的两条不同直线
、
.
（1）求抛物线
的方程及准线方程；
（2）设直线、分别交抛物线于
、
两点（均不与重合，如图），记直线
的斜率为正数
，若以线段
为直径的圆与抛物线的准线相切，求的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，该椭圆与
轴正半轴交于点
，且
是边长为
的等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点任作一直线交椭圆于
，
两点，平面上有一动点
，设直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，且满足
，求动点的轨迹方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的极值点；
（Ⅱ）若直线
过点
，并且与曲线
相切，求直线的方程；
（Ⅲ）设函数
，其中
，求函数
在区间
上的最小值.（其中
为自然对数的底数）
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