Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的极值点；

（Ⅱ）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；

（Ⅲ）设函数，其中，求函数在区间上的最小值.（其中为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)是函数的极小值点，极大值点不存在. (Ⅱ)

(Ⅲ) 当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为；

当时，的最小值为

【解析】

试题（Ⅰ）＞0 ………1分

而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜

所以在上单调递减，在上单调递增 . …………3分

所以是函数的极小值点，极大值点不存在. …………………4分

（Ⅱ）设切点坐标为，则切线的斜率为

所以切线的方程为…………5分

又切线过点，所以有

解得所以直线的方程为………6分

（Ⅲ），则＜0＜00＜＜＞0＞所以在上单调递减，在上单调递增. ………………8分

当即时，在上单调递增，所以在上的最小值为……9分

当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.

在上的最小值为………11分

当即时，在上单调递减，

所以在上的最小值为……12分

综上，当时，的最小值为0；当1＜a＜2时，的最小值为；

当时，的最小值为………14分