Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足2an=2+Sn．

（1）求证：数列{an}是等比数列；

（2）设bn=log2a2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；

（2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．

（1）证明：数列{an}的前n项和Sn满足2an=2+Sn，

可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；

n≥2时，2an-1=2+Sn-1，又2an=2+Sn，

相减可得2an-2an-1=2+Sn-2-Sn-1=an，

即an=2an-1，可得数列{an}是首项、公比均为2的等比数列；

（2）由（1）可得an=2n，

bn=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，

数列{bn}的前n项和Tn=（3+2n+1）n=n2+2n．