Question

【题目】设椭圆C：的两个焦点是和，且椭圆C与圆有公共点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若椭圆C上的点到焦点的最短距离为，求椭圆C的方程；

（3）对（2）中的椭圆C，直线l：与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

(1)根据椭圆C与圆有公共点,可转换为联立方程有解即可.

(2)设椭圆上的点,再求出到焦点的距离,分析取最短距离时的情况,再列式求解椭圆中基本量的关系即可.

(3)联立直线与椭圆的方程,求出MN的垂直平分线,代入即可得的关系,再根据判别式与的关系列出不等式进行求解即可.

(1)由已知,,所以方程 有实数解,从而.

故,所以,故a的取值范围是.

(2)设椭圆上的点到一个焦点的距离为,

则

因为 ,故,

因为.所以当时,

故 ,故椭圆方程为

(3)由

因为直线与椭圆交于不同两点,所以,即.

设,则 ,故线段的中点.
又线段的垂直平分线横过点,所以,即.

故.又,故,解得,

又,故

故实数m的取值范围是.