Question

已知．

 (I)若k＝2，求方程的解；

 (II)若关于x的方程在(0，2)上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并证明．

Answer 1

本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力．

（Ⅰ）解：（1）当k＝2时，　

①　当时，≥1或≤－1时，方程化为2

解得，因为，舍去，

所以．

②当时，－1＜＜1时，方程化为

解得，

由①②得当k＝2时，方程的解所以或．

 (II)解：不妨设0＜x₁＜x₂＜2，

因为

所以在（0,1］是单调函数，故＝0在（0,1］上至多一个解，

若1＜x₁＜x₂＜2，则x₁x₂＝－＜0，故不符题意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．

由得，　所以；

由得，　所以；

故当时，方程在(0，2)上有两个解．

因为0＜x₁≤1＜x₂＜2，所以，＝0

消去k 得　

即，

因为x₂＜2，所以．