Question

11．在△ABC中，AC=1，BC=2$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{6}$，如果不等式|$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$|≤|$\overrightarrow{AC}$|恒成立，则实数t的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，将不等式|$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$|≤|$\overrightarrow{AC}$|变形为|$\overrightarrow{CA}-（1-t）\overrightarrow{CB}$|$≤|\overrightarrow{AC}|$，两边平方得到关于t的不等式解之．

解答 解：在△ABC中，AC=1，BC=2$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=2\sqrt{3}×1×cos\frac{π}{6}$=3，
由|$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$|≤|$\overrightarrow{AC}$|变形为：|$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}+t\overrightarrow{CB}$|$≤|\overrightarrow{AC}|$，即|$\overrightarrow{CA}-（1-t）\overrightarrow{CB}$|$≤|\overrightarrow{AC}|$，两边平方得${\overrightarrow{CA}}^{2}-2（1-t）\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+（1-t）^{2}{\overrightarrow{CB}}^{2}$$≤|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$，
所以1-2（1-t）×3+12（1-t）²≤1，整理得（t-1）（2t-1）≤0，解得$\frac{1}{2}$≤t≤1；
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查了平面向量的数量积、向量的三角形法则不等式的解法等知识；关键是将已知不等式适当的变形，利用已知将不等式变形为关于t 的不等式解之．