试题分析:(Ⅰ)因为AC和PB是异面直线,所以可以采用线面垂直得线线垂直的方法证
,即先
平面
。要证
平面
需证面
内的两条相交线PA和AB都和AC垂直。
为已知条件证PA和AC垂直依据是线面垂直得线线垂直。(Ⅱ)(法一空间向量法)由题意可以点A为坐标原点,以AC,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系。分别设出AB,AC,AP的三边长,故可得点A,点B点C点P的坐标,因为点D为PA中点,即可得到点D的坐标,根据
得到点G的坐标,即可求出
坐标和平面PBC的一个法向量
的坐标,用向量数量积公式可求得
,即
,因为
平面
,所以
∥平面
.(法二一般方法)由
可知,G为三角形重心。设AB中点为E,所以G在OE上,根据中位线可得
∥
,连结
并延长交
于
,连
。因为
∥
,且E为AB中点,所以G为AF中点,所以
∥
,内线外线平行所以得线面平行。问题得证。(Ⅲ)采用空间向量法,由(Ⅰ)可知
是面PAB的一个法向量。先求两个法向量所成的角。两个法向量所成的角与二面角相等或互补。由观察可知此二面角为锐二面角,所以余弦值为正值。
试题解析:证明:(Ⅰ)因为
平面
,
平面
,
所以
.
又因为
,且
,
所以
平面
.
又因为
平面
,
所以
. 4分
(Ⅱ)
解法1:因为
平面
,所以
,
.又因为
,
所以建立如图所示的空间直角坐标系
.
设
,
,
,
则
,
,
,
,
.
又因为
,
所以
.
于是
,
,
.
设平面
的一个法向量
,则有
即
不妨设
,则有
,所以
.
因为
,
所以
.又因为
平面
,
所以
∥平面
. 9分
解法2:
取
中点
,连
,则
.
由已知
可得
,
则点
在
上.连结
并延长交
于
,连
.
因为
分别为
的中点,
所以
∥
,即
为
的中点.
又因为
为线段
的中点,
所以
∥
.
又
平面
,
平面
,
所以
∥平面
. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面
的一个法向量
.
又因为
面
,所以面
的一个法向量是
.
又
,
由图可知,二面角
为锐角,
所以二面角
的余弦值为
. 14分