Question

已知(x2+1)(x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a11x11．
（1）求a₂的值；
（2）求展开式中系数最大的项；
（3）求(a1+3a3+…+11a11)2-(2a2+4a4+…+10a10)2的值．

Answer 1

分析：（1）由（x²+1）（x-1）⁹=（x²+1）（

C

0 9

x⁹-

C

1 9

x⁸+…+

C

8 9

x-

C

9 9

）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹可求得a₂；
（2）依题意，求得展开式中的系数值为正数的所有项，即可得到答案；
（3）对=（x²+1）•（x-1）⁹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹两边同时求导，再对x赋值1即可求得答案．

解答：解：（1）∵（x²+1）（x-1）⁹=（x²+1）（

C

0 9

x⁹-

C

1 9

x⁸+…+

C

8 9

x-

C

9 9

）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，
∴a₂=-

C

9 9

-

C

7 9

=-37．                  …（4分）
（2）展开式中的系数中，数值为正数的系数为a₁=

C

8 9

=9，a₃=

C

6 9

+

C

8 9

=93，a₅=

C

4 9

+

C

6 9

=210，a₇=

C

2 9

+

C

4 9

=162，
a₉=

C

0 9

+

C

2 9

=37，a₁₁=

C

0 9

，故展开式中系数最大的项为210x⁵．                         …（8分）
（3）对=（x²+1）•（x-1）⁹=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹两边同时求导得：
（11x²-2x+9）（x-1）⁸=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+11a₁₁x¹⁰，
令x=1，得a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+10a₁₀+11a₁₁=0，
所以(a1+3a3+…+11a11)2-(2a2+4a4+…+10a10)2
=（a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+10a₁₀+11a₁₁）（a₁-2a₂+3a₃-4a₄+…-10a₁₀+11a₁₁）
=0．…（14分）

点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，突出等式两边同时求导与赋值的应用，考查运算能力，属于难题．