Question

已知（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n=

5

．

Answer 1

分析：要想使已知展开式中没有常数项，需（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中无常数项、x^-1项、x^-2项，利用（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的通项公式讨论即可．

解答：解：设（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展开式的通项为T_r+1，则T_r+1=

C

r n

x^n-r•x^-3r=

C

r n

•x^n-4r，2≤n≤8，
当n=2时，若r=0，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠2；
当n=3时，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠3；
当n=4时，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠4；
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；
当n=6时，若r=1，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠6；
当n=7时，若r=2，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠7；
当n=8时，若r=2，（1+x+x²）（x+

1

x3

）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中有常数项，故n≠2；
综上所述，n=5时，满足题意．
故答案为：5．

点评：本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．