Question

已知的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1），
根据题意的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2．
∴f′（1）=a-b=2
∴b=a-2
（2）由（1）知，，
令
则g（1）=0，
①当0＜a＜1时，，
若，则g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒不成立．
②a≥1时，，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）增函数，又g（1）=0，所以f（x）≥2lnx．
综上所述，所求a的取值范围是[1，+∞）．
分析：（1）先求导函数，根据的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2，可得a，b满足的关系式；
（2）令，求导函数，确定函数的单调性，进而可求a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，同时考查分类讨论的数学思想．