Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线C1的参数方程为 （θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sin（θ+ ）．
（1）把曲线C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求曲线C1与C2的交点M（ρ1 ， θ1）的极坐标，其中ρ1≤0，0≤θ1＜2π．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C1的参数方程为 （θ为参数），可得x=2（cosθ+1）﹣1=2cosθ+1，

∴（x﹣1）2+y2=4（cos2θ+sin2θ）=4，可得普通方程为：（x﹣1）2+y2=4，展开为：x2+y2﹣2x﹣3=0，

把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0

（2）解：由曲线C2的极坐标方程：ρ=﹣2sin（θ+ ），展开可得： sinθ=0，即ρ2+ρcosθ+ sinθ=0，

化为直角坐标方程为：x2+y2+x+ y=0，联立 ，解得 ，或 ．

∴曲线C1与C2的交点的直角坐标为 ，或（﹣1，0）．

化为极坐标为： ，或（﹣1，0）

【解析】（1）由曲线C1的参数方程，可得x=2（cosθ+1）﹣1=2cosθ+1，利用同角三角函数平方关系可得普通方程为：（x﹣1）2+y2=4，展开把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程可得极坐标方程．（2）由曲线C2的极坐标方程：ρ=﹣2sin（θ+ ），展开可得： sinθ=0，即ρ2+ρcosθ+ sinθ=0，利用ρ2=x2+y2 ， x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为直角坐标方程，联立解得交点，化为极坐标即可得出．