Question

【题目】如图所示,在四面体ABCD中,AB,BC,CD两两互相垂直,且BC=CD=1.

(1)求证:平面ACD⊥平面ABC;

(2)求二面角C-AB-D的大小;

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）CD⊥AB,CD⊥BC,可得CD⊥平面ABC，从而有平面ACD⊥平面ABC。

（2）建立空间坐标系，求出平面ABC的法向量=(1,0,0)和平面ABD的一个法向量为(-1,1,0)，代入计算公式即可。

(1)证明因为CD⊥AB,CD⊥BC,

所以CD⊥平面ABC.

又因为CD平面ACD,

故平面ACD⊥平面ABC.

(2)解设AB=a,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,

则B(0,0,0),A(0,0,a),C(0,1,0),D(1,1,0),于是=(1,1,0),=(0,0,a).

显然平面ABC的法向量=(1,0,0).

设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),

则有·n=x+y=0,·n=az=0,

所以z=0,取y=1,则x=-1,则n=(-1,1,0).

因此cos<,n>==-,

由图可知二面角C-AB-D为锐角,所以二面角C-AB-D的大小为45°.