【题目】在极坐标系中,已知圆C的圆心C( , ),半径r= .
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若α∈[0, ),直线l的参数方程为 (t为参数),直线l交圆C于A、B两点,求弦长|AB|的取值范围.
【答案】
(1)解:∵C( , )的直角坐标为(1,1),
∴圆C的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=3.
化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ(cosθ+sinθ)﹣1=0
(2)解:将 代入圆C的直角坐标方程(x﹣1)2+(y﹣1)2=3,
得(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=3,
即t2+2t(cosα+sinα)﹣1=0.
∴t1+t2=﹣2(cosα+sinα),t1t2=﹣1.
∴|AB|=|t1﹣t2|= =2 .
∵α∈[0, ),∴2α∈[0, ),
∴2 ≤|AB|<2 .
即弦长|AB|的取值范围是[2 ,2 )
【解析】(1)先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程,再利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2 , 进行代换即得圆C的极坐标方程.(2)设A,B两点对应的参数分别为t1 , t2 , 则|AB|=|t1﹣t2|,化为关于α的三角函数求解.
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【题目】已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,点(0,)是椭圆与y轴的一个交点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线x=2与椭圆交于P,Q两点,点P位于第一象限,A,B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点;
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的取值范围;
②当点A,B在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB的斜率是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由.
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【题目】如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC,过A1、C、D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.
(1)证明:Q为BB1的中点;
(2)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,∠ADC=60°,求平面α与底面ABCD所成锐二面角的大小.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点P(3,0)在圆C:(x﹣m)2+(y﹣2)2=40内,动直线AB过点P且交圆C于A、B两点,若△ABC的面积的最大值为20,则实数m的取值范围是 .
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【题目】如图所示,A,B分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与|FB|的等差中项,是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点,过点A作直线l⊥x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于点Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】如图所示,在四面体ABCD中,AB,BC,CD两两互相垂直,且BC=CD=1.
(1)求证:平面ACD⊥平面ABC;
(2)求二面角C-AB-D的大小;
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