Question

【题目】设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．
依题意可得 ，
解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ．
所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x．
（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），
联立方程组 ，解得点P（﹣1，﹣ ），故Q（﹣1， ）．
联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣ ．
∴B（ ， ）．
∴直线BQ的方程为（ ﹣ ）（x+1）﹣（ ）（y﹣ ）=0，
令y=0，解得x= ，故D（ ，0）．
∴|AD|=1﹣ = ．
又∵△APD的面积为 ，∴ × = ，
整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ．
∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣ y﹣3=0．
【解析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．