【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
求证:CD⊥平面PAE.
【答案】见解析
【解析】
如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
则利用空间向量证明CD⊥AE,CD⊥A.即可.
证明：如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
易知
=(-4,2,0),
=(2,4,0),
=(0,0,h).
∵
=-8+8+0=0,
=0,∴CD⊥AE,CD⊥AP.
∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.
一线名师提优试卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示,A,B分别是椭圆C:
=1(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与|FB|的等差中项,
是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点,过点A作直线l⊥x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于点Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= 
．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+ 
）的值．
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【题目】如图所示,在四面体ABCD中,AB,BC,CD两两互相垂直,且BC=CD=1.
(1)求证:平面ACD⊥平面ABC;
(2)求二面角C-AB-D的大小;
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【题目】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5 ．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1 ．
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【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
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【题目】若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（ ）
A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关
D.与a无关，但与b有关
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【题目】如图,在底面为平行四边形的四棱锥O-ABCD中,BC⊥平面OAB,E为OB中点,OA=AD=2AB=2,OB=
.
(1)求证:平面OAD⊥平面ABCD;
(2)求二面角B-AC-E的余弦值.
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