Question

7．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．
（Ⅰ） 求证：直线EA⊥平面PAB；
（Ⅱ） 求直线AE与平面PCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）只需证明直线EA⊥AB，且EA⊥PA即可；
（2）先证明AH⊥平面PCD，得出∠AEP为直线AE与平面PCD所成角，在Rt△PAE中计算tan∠AEP的值．

解答 解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，
∴△AED是以∠AED为直角的Rt△；
又∵AB∥CD，∴EA⊥AB；
又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA；
且AB∩PA=A，
∴EA⊥平面PAB；---------（7分）
（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点，
∵CD⊥EA，CD⊥PA，且PA∩EA=A，
∴CD⊥平面PAE；
又AH?平面PAE，
∴AH⊥CD；
又AH⊥PE，且CD∩AE=E，
∴AH⊥平面PCD，
∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角；------（11分）
在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=$\sqrt{{AD}^{2}{-DE}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠AEP=$\frac{PA}{AE}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．----------（15分）

点评 本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是基础题目．